Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Бииом Ньютона Из школьного курса математики хорошо известны формулы; (а + Ь)^ = + 2ab + b^, (о + Ь)^ = а"' + Ъа'Ь + +Ь^ (формула (a+bf =a + h очевидна). Если внимательно посмотреть на правые части этих формул, то можно увидеть две интересные особенности; во-первых, коэффициенты, стоящие пе­ ред степенями величин а и 6, являются элементами соответствующей строки треугольника Паскаля; во-вторых, степени переменной а убывают, соответст­ венно степени 6 - возрастают. Если вычислить(д + 6)'* = ((а + , то получим такой результат; (а + Ь)'' = а" +4а''д + 6а^Ь' +4а(>^ +Ь''. Ну вот, набрав достаточно материала (сделано достаточно много наблю­ дений), можно выдвинуть индукционную гипотезу: для любых а,Ь еЛ и любых neN имеет место формула; / . I 1 /^2 н-2,2 /^2 ii~ktk , /-.«/л ( £ 2 4-6) — 4-С„ 4-й и СцС1 Ь 4-...4-c7 „fl[ и 4-...4'C „i3 и 4-...4-С„6 ИЛИ, если использовать сокращенную запись: {а +Ы = X = t Cla'^b"-' . (2.7) к-й к=й Сейчас дока^кем с помощью математической индукции справедливость формулы (2.7), которая носит название; формула бинома Ньютона. Итак, как мы уже видели, формула (2.7) справедлива для « = 1; 2; 3, Пусть она справедлива для и, докажем ее справедливость для и +1; (а +6)"' = (а + 6)(а + 6)" = (а +6 ) 1 = t + t С!', а ' . i=0 4=0 /t=0 До сих пор все ясно без комментариев. Теперь поставим себе цель - в двух последних суммах заменить п на п+1, для этого от первой суммы отделим слагаемое, содержащее а"'"', а от второй - слагаемое cf)"'*', тогда (а +6 ) " ' = + 'i; + t C,f = (если учесть, что С = С:,' = С° =С , = l) = + ' к=0 +Z! ^ 4- ~ (в первой сумме сдвинем индекс суммирования к А-=1 24