Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Свойства числа С'" 1°. Симметричность: С,'" =С , . Доказательство очевидно из (2.5). 2°. Для всех п.т {т<п) имеет место: C +c r ' =C i - (2.6) Доказательство. Воспользуемся формулой (2.5): ^„,-1 п\ н! п\ ( 1 1 г"' +с"' ' + —+ " " т\{п-т)\ (m-I)!(n-(m-l)! (т-\)\{п~ту\т n - (m- I ) п\ п + \ _ (п + 1)! _ (т -\)[{п ~ т)\ т{п~т + {) т\{п + 1-т)\ Свойство 2 ° позволяет для чисел С,"' построить так называемый тре­ угольник Паскаля; С,"С,' cjclci c'.clc^cl С 0^1 ^/11—i^Hi п '"^/1 •'«••I ^-'/1+1 ^п+1 Видим, что это бесконечная вниз треугольная таблица чисел, каждое из которых получено как сумма двух, стоящих над ним, чисел. Если учесть это правило и то, что С° = С" = 1 для всех значений то легко построить этот тре­ угольник уже «в числовом виде»; I I I 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 I 5 10 10 5 1 Кстати, теперь получена и иллюстрация свойства 1° - симметричности. Треугольник Паскаля удобен для вычислений С" с достаточно малым п. Числа сочетаний С,'," часто называются биномиальными коэффициентами. 23