Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Пусть (2.2) доказано. Добавим еще один uiapa „,^i. Ясно, что на каждый из вариантов размещения шаров «|, (ь,..., а„, приходится (п-т) вариантов рас­ положения шара в оставшихся СБО 6 ОДНЬ1 М И {п - т) лунках. Такнм образом •4,',"' = А"'{п-т) = п{_п-\){п-2)... {п - (т -\))(n-in). Что и требовалось. Рекомендуем осмыслить это доказательство с использованием понятия отображения. Замечание. Для А" можно получить еще одну удобную формулу: а : = • (2.3) ( п - т ) ! ^ Эта формула получается из равенства (2.2) делением и умножением его правой части на (н -т ) I Пусть вновь даны Л = {а;, Oj. , В = {5,, ^2. и m < п. Все мно­ жество инъекций т А в В разобьем на группы по следующему принципу, две инъекции fi и /г отнесем к одной и той же группе, если /,(А) = /г{А). Каж­ дую такую группу отображений назовем сочетаниями, а число всех возможных сочетаний обозначим C;J'. Содержательный смысл здесь тот же, что и у размещений с той разницей, что если в фиксированном варианте расположения шаров в лунках поменяем местами два шара, то не получим нового варианта. Из сказанного очевидна формула: А'^ п{п-\)...{п-{т-\)) С„ - , (_,4) или с учетом (2.3) С;;'= . (2,5) ш!(п-ш)! Заметим, что С"„, вообще говоря, не определено, т.к. при выводе формул мы считали т < п. Однако из содержательного смысла числа С", следует, что С"=1. Действительно, существует лишь одна группа инъекций из {fl|, а2,..., а„] в {Ь|, Ьг,..., i,,} указанного выше вида или, то же самое, лишь одним способом можно разместить п неразличимых шаров в п лунках. Из сде­ ланного замечания, кстати, следует, что соглашение о равенстве О! = I необхо­ димо было принять, поскольку из формулы (2,5) следует; С" = — = —!1L= 1 п\(п-пу. л!-О! 22