Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

т) AI\0 = A, Л Л/( = 0 (пустое множество является нулевым элементом для операции « Л »); у) A\(A&.D)=D, AS = D)=>(В = у1ЛО){обратаой к операции «Д» является она сама). 3. Показать, что операции « и » н «\» можно выразить через операции «Л» и « п » . 4. Упростить выражение С{С{А u) В) п (СА и СВ)). 5. Доказать теоремы: а) Аа В ci' An В = А; б) АсВа>АиВ = В-, в) Ad В СВ с: СА. Доказательство, а) Пусть Acz В, докажем Аг\В = А. Для этого докажем два вгслючения Аг\В с А и Аа А г\В . Первое вклю­ чение очевидно из определения операции пересечения. Включение Ас: Аг\В можно доказать так: если хеАа В, то хе. В, то есть хеА и х е JS одновре­ менно, то есть хе АглВ. Обратно, пусть АглВ = А, докажем А а В. Пусть хеА=>хеАпВ, но тогда, по определению операции АпВ имеет место хеВ, что и требовалось. Теорема доказана полностью. в) АаВс^СВ с: CAoCBr^CA^CBci'С{В^А) = С £ <^ АиВ = В. 6. Положим: и Л = {х| Э^: :л' EAI,,K = \, 2, ...,н); П 4 =! * = U 2, ...,п : хе.АЛ. Доказать; a ) C U 4 =n C 4 - 6 ) C n ^ t =C'C^. к-\ *:=! М к=\ II п Доказательство. &) Пусть xeCij А xiU Л х< £ . Л/, ни для како- го ft = 1, 2,..., п <=> X 6 для любого к = ], 2,..., « <=>л: s П СА/^ , к=] 7. Вытекает ли из A\B = D, что A(zBvJDl 8. Вытекает ли из A = B^D, что A\B = D'? 9. Найти все подмножества множеств: а)0 ; б) { 0 ) ; в) {х}; г) {1, 2}, 10. Установить, какие из следующих равенств являются истинными; а) Г ' (У, иГ , ) = /-'(}^)и/-'(Г2); 18