Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

2, Запишите с помощью символов следующие предложения: а) Для любого действительного числа х найдется такое натуральное число п, что какое бы натуральное число /«, следующее после п мы ни взяли, имеет место тот факт, что х меньше среднего арифметического чисел п и т. б) Для любого действительного числа д: найдутся наи^ральные числа п и т, для которых имеет место тот факт, что их среднее арифметическое больше, чем х. в) Числовая функция/является четкой. Числовая функция/является не­ четной. (Указание: смотреть соответствующую запись для периодической функ­ ции). Запишите отрицания каждого из высказываний. 3. Какая из формул; ^ 4 п 0 =0 , А п 0 ^ 0 верна? 4, Каждую из формул хеАиВ; xeAAB, можно прочитать так: <а принадлежит А или В». Одинаковый ли смысл в обоих случаях носит союз «или»? 5. Можно ли раскрыть скобки следующим образом: {AvjB)nD = iAnD)\j{BnD)l 6, Встречались ли вы при работе с действительными числами с понятия­ ми рефлексивности, транзитивности, коммутативности, ассоциативности, дист­ рибутивности? 7. Является ли инъекцией: Ю /(x) = sinx, Л = [W2; 3/2и], [-1; 1]? б) fix) = cosx, Л = [-я/2; я/2 ], S = [ 0; 1]? Будет ли сюръекцией какая-либо из перечисленных функций? Будет ли биекцией хотя бы одна из перечисленных функций? 8. Пусть/1|= [0; 1], Л= /(х)=1х|, Убедитесь, ч т о / - продол:,;сеиие ср, а ф - сужение/ Нарисуйте соответст­ вующие графики. 9, Пусть А = {а,, oj, а^}, В = {й|, bi, . Построим функции: f :а\-^Ьу, и ц):Ь,->а2, -> Дз, Ь^ —> ai. Почему ф моле­ но называть функцией из S в Л, но нельзя назвать обратной к/ ? Упражнения 1. Доказать равенство: (AuB)\iAnB) = iA\B)^j{B\A). Доказательство. Во-первых, это равенство показывает, что симметриче­ скую разность множеств можно определять двумя формулами: 16