Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

3. Если f : А В , g •. В С , то можно построить новую функ­ цию F:A'->C по правилу: VxeA: F(.x) = g(f{x)). Эта функция называется композищ/ей или суперпозицией или сложпог! функцией и обозначается g ° f . В математике важно уметь сравнивать множества по «количеству!) элемен­ тов. Не задумываясь скажем, что множество из 100 элементов мощнее, чем мно­ жество из 7 элементов, если даже не будем знать точного определения слова «мощность» множества. Такмсе^не задумываясь, скажем, что натуральный ряд чи­ сел «мощнее», чем множество, состоящее из 10'° чисел. Однако у человека, впер­ вые знакомящегося с математическими теориями, выходящими за рамки школь­ ного курса, вызовет затруднение вопрос: «какое множество мощнее - натураль­ ный ряд чисел или множество всех положительных четных чисел ?» И это естест­ венно, поскольку здесь нам предлагается сравнить два бесконечных множества. Вопрос о том, что такое мощность множества оставим открытым, по­ скольку его решение выходит за рамки нашего курса математического анализа, однако одно определение, связанное с понятием мощности множества,мы вве­ дем из-за его большой для нас важности. Определение 1.2. Два множества называются равномощными, если Между нгши можно установить хотя бы одну биекцию. Например, если N- натуральный ряд чисел, а Л-{2; 4; 6; ...; 2 Й; ...} = {Л : = 2 Й | « е Л'}, то А и N- равномощны. Биекция очевидна: / : п <-> 2«, пе N. Определение 1.3. Множество называется счетным, если оно равиомощ- но натуральному ряду чисел или, что то же самое, если между ним и нату­ ральным рядом чисел можно установить хотя бы одну биекцию. В дальнейшем элементы счетных множеств будем записывать с индексом: а,,, п = 1,2,..., тем самым подчеркивая биекцию: п<г^а„, neN. Часто говорят, что установить биекцию междуNn А - значит «сосчитать» /I с помощью М Вопросы для самопроверки 1. Используя фигурные скобки, запишите числовые мномсества (а; Ьу, [0;1]; [-2;+ос), 15