Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

r \y) = {xeD ( / ) ; / W - . v } . Это множество называется полным прообразом элемента у или миожест- вом уровня функции / определенным элементом у. Тогда для функции f(x) = x~ имеем: /"'(1) =М ; !}• Введем в рассмотрение различные типы функций. 1. Если /(/!)= S или, что то же самое: '^у & ВЗх е А : /(л) = у (в В нет элементов, которые бы не были образами какого-либо л: е ^ ) , то функ­ ция называется сюръекцией или наложением. 2. Если Vx,, Х2 Е-4 :(х, Х2)=> (/(Х|)5^ /(^2)) или, то же самое, для всех у& f{A) полный прообраз f'\y) состоит в точности из одного элемента, то/называется инъекцией, или вложением, или обратимой функцией, или вза- гшнооднозначной функцией. 3. Если f:A-^B одновременно является сюръекцией и инъекцией, то она называется биекцией. Инъективные функции позволяют ввести в рассмотрение так называемые обратные функции: функция ф, определенная на f(A) со значениями в D{f) называется обратной к /, если / инъективна, и ip-.y&f{A)-^f'\y). В силу того, что у каждого у & f (А) прообраз состоит в точности из од­ ного элемента, отображение ф действительно является функцией. Обозначение В заключение раздела рассмотрим еще несколько определений. 1. Если Vx&Dif):f{x) = c, где с ~ фиксированный элемент изй, то функция/называется постоянной или константой. 2. Если А^а А, А\ ^ В, f •, А^ В и для всех х&А^ имеет место /(.г) = ф(х), то ф называется сужением f с А на А^,а / - называется расшире­ нием или продолжение.^ ф с А^ т А. U