Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Зачастую в литерат>'ре можно прочесть такие слова: «...пусть f(x) - функция, определенная...». Надо сразу понять, что в этих словах кроется не­ точность: / { х ) - это не имя функции, а значение функции на элементен, т.е. это тот самый у S В, который поставлен элементу л' в соответствие. Ыо эта «вольность речи» уже настолько укоренилась, что ее перестали замечать. Оправдать ее можно тем, что запись f{x) как бы показывает, какое «имя» присвоено точкам множества А : «имя х ». Обычно множество А называют областью определения функции/ и обо­ значают D(/) или dom{f), а точки х Е D{f) называют аргументами f Элемент ys В , соответствующий элементу х при отображении /, назы­ вают значением функции/в точке х или образом точких. То, ч т о / - есть функция, отображающая А в В, записывают так: f : А В или x —>f{x)sB или y = f{x). Каждую из этих записей будем использовать. Через f(A) будем обозначать множество всех значений функции/ на множестве А: fiA) = {yeB:y = fixl хеА]. Важно понять, что требуя единственности значения функции на каждом хеА, мы не требуем того, чтобы два разных х\ и Хг отображались с помощью/ в два разных жеу\ куг. Например, если Л= [-1; S = /f,TO функция ./•••[-1; такая что х-*х^ ставит в соответствие точкам Х\ - -1/2 ч хг - 1/2 один и тот же у = 1/4, т.е. ес­ ли мы поставим себе обратную задачу: по у е f(A) отыскать тот самыйх, для которого f{x) =у , то эта задача может оказаться разрешимой неоднозначно: в предыдущем примере jv=l получался применением f{x) = x^ к двум разным .ti = -1 и !• Это можно пояснить еще так: для фиксированного yef{A) введем мно­ жество: 13