Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Доказательство. Л' е /(\ В о (л: 6 /1) л (л: г В) о (.г е /<) л (л: е СВ) о х е Агл СВ. Рекомендуем это равенство проиллюстрировать рисунками, подобными рис. I - 4. Приведенные правила действий над множествами позволяют доказывать теоретико-множественные тождества прямым вьмислением, не доказывая включения левой части тождества в правую, и наоборот правой части в левую. Теперь введем понятие функции. Это важнейшее понятие во всей матема­ тике. Взгляды на понятие функции изменялись и развивались вместе с самой 'математикой и, поэтому понятие функции можно вводить с той или иной мерой строгости в зависимости от того, каковы потребности дальнейшей работы с этим понятием. Введем определение функции, которое будет опираться на такие слова, как «правило» или «закон», интуитивно понятные в обычной речи, но которые, строго говоря, сами нуждаются в определении. Иными словами, не будем сразу же усложнять понятие функции - нам будет достаточно тех интуитивных сооб­ ражений, о которых сказано выше. Итак, пусть А и В - два множества произвольной природы. Определение 1.1. Всякое правило (закон), по которому каждому элемен­ ту л: б Л ставится в соответствие элемент у е В (при этом каждому х ставится в соответствие только один у) называется функцией, определенной на множе­ стве А со значениями в множестве В . Если Л и В подмногсества числовой прямой, то функция называ-гтся чи­ словой. Наряду с термином «функция» употребляются термины «отображение», «морфизм» и др. Каждому такому правилу присваивается название. Обычно оно состоит из одной буквы; /, ф, v и т. п. Есть функции, которым название присвоено раз и навсегда. Например, функция с названием sin - это функция, ]соторая ставит в соответствие любому xeR его синус, то есть sin х. Теперь легко можно ска­ зать, что такое функция In, arccos и т. д. Функция /, таким образом, это функция, которая каждому х ставит в со­ ответствие уеВ уг этот у обозначают / (л). 12