Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

6. Для любых А, в » D справедливо; Ап{В^ D) = iA r\B)yj{Ar\D)-, Аи{В r\D)='{Au B)n{AKjD). Эти два равенства называются первым и вторым законами дистрибутив­ ности. Докажем первый закон, для этого опять, как и выше, покажем, что одно­ временно выполняются вюгючения: А Г\{В D) с: {А глВ)и (А гл D) с: Аг\{В VJ D), откуда и будет следовать равенство. Итак, пусть хе Ar\(Bvj D), тогда хеА н {хе В или x&D), но тогда {хе А и хеВ) или (хе А и xsD),m это значит, что х е{Аг\В)и{Аг\В). Если теперь х е (An В)'и (А nD), го (хе А я хеВ) или (хеА и xeD), но это значит, что хеА и в то же время хеВ или xeD, то есть xeAn(BuD) и первый закон доказан. Второй закон доказывается аналогично. (Провести доказательство само­ стоятельно!) 7. Для любых AczX п В с X справедливо: С(А г\ В) = САи СВС(А иЗ) = САпСВ. Это закон двойственности. Доказательство. Пусть хеС(Аг\В). Это эквивалентно тому, что X й п S ) , то есть: либо х^ А, либо д:й5, но это возможно тогда и только то­ гда, когда хеСА или х е СВ , то есть хеСА'^ СВ. Легко видеть, что каждый шаг этого доказательства обратим, то есть в обратную сторону доказательство идет тем же путем. Приведем еще формальную запись этого доказательства: X е С(А п S ) о х й Лn S о (х г v4) V (х й S) <=> О (х е СА) V (х Е СВ) а> хеСАи СВ. Второй закон двойственности доказывается аналогично. (Доказательство провести самостоятельно). Докажем еще одну удобную формулу, которая часто применяется при до­ казательстве различных теоретико-множественных формул. 8. Для любых AczX к Ва X имеет место: А\В = АглСВ. И