Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

в этом случае для АаХ обозначим; СА =Х\А , а СА будем называть дополнением А (рис. 3); 5. Симметрическая разность. Для двух мно­ жеств А пВ обозначим Рис.3 ЛДВ= ( ЛиВ ) \ ( ЛпВ ) . И назовем это множество симметрической разно­ стью множеств А и В (рис. 4). Заштрихованная часть рисунка - это и есть симметрическая разность. Правила действий над множествами. Рнс 4 1. Для любого множества А всегда0 с: А. Доказательство. Предположим противное; 0а. А. Но это означает, что в 0 есть элементы, не принадлежащие/4, чего быть не может, т. к. в 0 элемен­ тов нет. Полученное противоречие доказывает теорему. 2. Ас А. Это свойство называется рефлексивностью включения. Доказательство. Очевидно, если х е А, тох е А. 3. [А с: В) А [В а D) => А с D. Это свойство называется транзитивностью включения. Доказательство. Очевидно: если хеА, тохеВ, но если.г"б5, roxeD, то есть х £ A=i>.xeD, что и требовалось доказать. 4. Для любых А, В справедливо; A\j В = А', АглВ-Вг'лА. Эти свойства объединения и пересечения называются коммутативностью. Доказательство. Очевидно. 5. Для любых А, В тл D справедливо; AVJ{B\JD) = (A\JB)\JD; АГ\{ВR\D) = {Ar\B)r\D. Эт и свойства на­ зываются ассоциативностью. Доказательство. Докажем первое; пусть хе Avj(B\JD). Это значит, что хеА или x 6 ( 5 u Z ) ) , следовательно, х&А, или хеВ, и л и х е Д , т.е. X е (/4 U В) или X 6D, а значит л: б (Л и В) и Z). Мы доказали включение; Обратное включение доказывается аналогично. Доказательство ассоциа­ тивности пересечения провести самостоятельно. 10 Л v j (B VJ D) с; (Л U5 ) и £ ).