Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

19. Проверить, что lim — — - существует, но не может быть вычислен г-»со д- + sin X по правилу Лопиталя. 20. Значение какой функции (при достаточно больших х) больше; х" или х ' ? 21. Пусть jc->0. Показать, что е-(1 + л:)"' есть бесконечно малая перво­ го порядка относительно JC. 22. Пусть х - > 0 . Показать, что 1п(1 + х) - е In 1п(е + х) есть бесконечно малая второго порядка относительное. 23. Проверить, что при вычислении значений функции при 0< j cS ] / 2 jc' х ' по приближенной формуле е" W1 + X+— + — допускаемая погрешность мень- 2 6 ше 0,01. Пользуясь этим, найти -Je с тремя верными цифрами. 1 24. Пользуясь приближенной формулой e ^ a l + x +— , найти —^ 2 и оценить погрешность. 25. Проверить, что для углов, меньших 28°, погрешность, которая полу- 3 5 X X чится, если вместо sin х взять выражение будет меньше 0,000001. Пользуясь этим, вычислить sin 20° с шестью верными цифрами. 26. Найти cos 10° с точностью до 0,001. Убедиться в том, что для дости­ жения указанной точности достаточно взять соответствующую формулу Тей­ лора 2-го порядка. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций 27. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей. 28. Число 36 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадра­ тов была наименьшей. 29. Объем правильной треугольной призмы равен v. Какой должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей? 30. Открытый чан имеет форму цилиндра. При данном объеме v каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра, чтобы его поверхность была наименьшей? 3 1. Найти соотношение между радиусом R и высотой Н цилиндра, имею­ щего при данном объеме наименьшую полную поверхность. 150