Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

247. у = 2lg A'-tg^x ( o < x < — \ 248. ;' = arctg'^ —^(0<jc<l). 2) l + x В задачах 249-254 доказать справедливость неравенств, 249. 2-Jx >3 - — (jc > 1). 250. е' >l+x (х ^0). X 251. x> l n ( l+x ) ( x>0 ) . 252. In x+1 253. 2xarctgx>ln^l+x^j. 254. 1+x !n|x + л / Г + 2 X Исследование функций с помощью второй производной В задачах 255-263 найти экстремумы данных функций, пользуясь второй производной. 255. у ^ х ^ ~2ах^+а^х ( а>0 ) . 256. у = х^(а-х)^. 2 257. у = х + — ( а>0 ) . 258. y = x + yj1 - х . 259. j ' =x V 2 - x " . X 260. y = chax. 261. у = х^е"''. 262. = 263. >' =х"''. In А' В задачах 264-272 найти точки перегиба и интервалы вогнутости и выпуклости графиков данных функций. 264. у =х^-5х^ +З х - 5 . 265. у = (х + 1)''+е''. 266. у =х ' ' - 1 2 x 4 48x^-50 . 267. у = х +3 б х ^ - 2 х ^ - x ^ 268. у = 3х^-Sx"*+Зх-2. 269. у = (х +2)'+2х +2 . 270. у = е™'' 271. y = ln(l + x^). 272. у =е''"^'. 273. Показать, что график функции у = х arctg х везде вогнутый. 274. Показать, что график функции у = !п^х^- i j везде выпуклый. JC 4* i 275. Показать, что линия у =—5 имеет три точки перегиба, лежащие X +1 на одной прямой. 276. Показать, что точки перегиба линии y =x s m x лежат на линии у^(4 + х^) =4 х ^ Асимптотическое поведение функций В задачах 277-281 найти асимптоты данных линий. 147