Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

lim (л + 2 arctgx) и lim (x+ 2arctg.ii: ) X —* +0C X-^ -cc не являются конечными величинами. Ищем наклонные асимптоты; 1) = lim £ ± 1 ^ Е ! Е £ = НП, .Т-^+СО X Д--»+СО^ X J й] = lim (л: + 2arctg х- х)- 2(п/2) = п; у = х + к - правая асимптота; .г-^+со 2) к, ^ Ит £ ± 2 Е £ ! Е £ ^ f U ^ , . X X Z?! = lim (х + 2arctg х-д:) = 2(-тс/2) = -7t; у =x-7t - левая асимптота. Х-^-СО 26. Найти асимптоты кривой у = . Р е ш е н и е . Вертикальных асимптот, очевидно, нет. Если д: -> со, то 3^ —> О. Следовательно, ось Ох является горизонтальной асимптотой данной кривой. Определим, существует ли наклонная асимптота: Х'^Е'' X 1 А: = lim = lim — = lim — = О. х—^аз X Х-^>со Х~^ Q Таким образом, имеется только горизонтальная асимптота >•= О. -Т7 тт " - х^ ~2х + Ъ 27. Наити асимптоты кривои у = . х+2 Р е ш е н и е . Если д: - 2 , то у -> со, т.е. х = -2~ вертикальная асимпто­ та. Найдем невертикальные асимптоты; -2х + Ъ — 2jc -ь 3 к = lim = 1, Ь = lim х{х + 2) -t- »® х + 2 ---А. Таким образом, наклонная асимптота имеет уравнение у = х~А. ^ 4" 4 28. Провести полное исследование функции у = — z — и построить X ее график. Р е ш е н и е . 1) Область определения функции - вся ось Ох, за исключением точки л = О, т.е. D{y) = (-со; 0)U (0; + со). 2) Функция не является четной или нечетной. 3) Найдем точки пересечения графика с осью Ох\ имеем —2~~®' • X 4) Точка разрыва х =0 , причем lim у = со; следовательно, .< = 0 (ось Оу) .v- »0 является вертикальной асимптотой графика. 135