Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Р е ш е н и е. Находим производнз'ю: =1-2cos.г. Очевидно, что >>'=0 D интервале (7t/3; 57i/3), У < 0 в интервалах (0; п/3) и (5л;/3; 2п). Таким образом, в интервале (п/3; 5л/3) данная функция возрастает, а в интервалах (0; 11/3) и (5л/3; In) -убывает. 22. Исследовать на экстремум функцию у = (х- 1)'' . Р е ш е н и е . Находим производную: у' - А ( х - 1 ) \ Из условия 3j'=0 находим стационарную точку х = \. Вторая производная >>"=12(^-1)" при X = 1 равна нулю. Третья производная у" = 2А{х-\) При д: = 1 также обра­ щается в нуль. Четвертая производная = 24 > О. Следовательно, в точке л = 1 функция имеет минимум = О. 23. Найти наибольшее и наименьшее значения функции /{х) = Ъх-х^ на отрезке [-2; 3]. Р е ш е н и е . Находим производную: /'(л:) = 3- Зх ^ . При x = ± l имеем /'(д:)=0, т. е. л: = ±1 - стационарные точки. Определяем значения функции в этих точках: /(1) = 2, /(~1) =- 2 . Вычисляем значения данной функции на фаницах промежутка; / ( - 2 ) =2 , /(3) = -18. Из полученных четырех значе­ ний выбираем наибольшее и наименьшее. Итак, наибольшее значение функции на данном отрезке равно 2, а наименьшее равно - 18 . 24. Найти промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба графи­ ка функции > = л:' -I- 5л: - б. Р е ш е н и е . Имеем у' '= Sx'* +S, у" =20 . Если .г < О, то у" <0 и кри­ вая выпукла; если же л:>0, то > 0 и кривая вогнута. Слева от точки х = 0 кривая выпукла, справа - вогнута; следовательно, точка с абсциссой л: = О явля­ ется точкой перегиба; значение функции при х = 0 равно - б . Итак, кривая выпукла в промежутке (~оо; 0) и вогнута в промежутке (0; +оо), а точка (0; - б ) является точкой перегиба. 25. Найти асимптоты кривой у = х + 2 arctg х . Р е ш е н и е . Вертикальных асимптот кривая не имеет, поскольку ни при каком конечном значении а пределы lim (.V + 2 arctg х) и lim {х+2 arctg х) .«т а xla не являются бесконечными. Горизонтальных асимптот кривая также не имеет, поскольку: , 134