Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Р е ш е н и е . Имеем неопределенность вида с о - с о . Приведем дроби к общему знаменателю, а затем, получив неопределенность вида О/О, применим правило Лопиталя: e ^ - 1 - л е ' - 1 . 1 lim — ^ = lim lim = —. л: f е ' -1) е"" - 1 + хе^ 2 19. Вычислить предел lim (sinj;)''. дг^О Р е ш е н и е . Имеем неопределенность вида О®. Обозначим (sin д:)'' = у и прологарифмируем ее; In sin л: In >1 = д: In sin л: = - 1/х Вычислим предел Inу , применяя правило Лопиталя (здесь имеем неопре­ деленность вида оэ / со); .. . In sin* ,. cosx/sin* Iim In V = Iim = lim г-т:—= дг-»0 .мО l / x Д:-»0 - у х .. X^COSX f 1 n = = -lim x-cosx--;— =0. ^->0 sin л x-^oy smxy Следовательно, lim у = e ° = 1. 20. Вычислить предел lim (1 + л)'"''. x-^0 Р е ш е н и е . Имеем неопределенность вида 1". Обозначив данную функ­ цию через >, логарифмируя и применяя правило Лопиталя, получим lim In 3^ = lim (in x ln(l + x)) = lim ^ — - - v r t •' vrt t-^0 x-^O I/ln X l/(l + x) 1- xln^x ,. In" = lim— r r H г = -lim = -lim X .v~>0 -1Дх In^x) -^ + 1 -t-xJl + l/x ,. (21nx)/x In X ... l/x = -hm-^^ r - ^=2 1 im =2hm —V-^ = 0 . •^->•0 - l / x •t-'-o l / x ^- л-1/x Таким образом, lim V = e ° = 1. .x->0 21. Найти интервалы возрастания и убывания функции >' = x-2sin.v, если 0 < х < 2 п . 133