Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Отсюда ^ = 2 , у(2) = О, Таким образом, точка М имеет координаты (2; 0). 14. Представить функцию / ( х ) =- ^ в виде многочлена пятой степени относительно двучлена х - 1 . Р е ш е н и е . Вычислим значения функции /(.х) = и ее производных до пятого порядка включительно при Хо=\: /(1) = 1, /Чх ) = (1/3).х--'\ /'(1) = 1/3; f " i x ) = - { 2 l 9 ) x - ' ' \ /"(1) =- 2 / 9 ; f"'{x) = (\0/2J)x'^'\ /"'(1) = 10/27, /'''( А -) = -(80/81). Х ""''\ = -80/81, f'^(x) = (880/243)х'""\/^(1) = 880/243. Следовательно, по формуле Тейлора получим Vx = l + i (A: - l ) 3^ 9-2!^ ' 27-3! 81-4! 243-5Г ^ где Rs = • ^ " Ч х - \ ) \ \ < ? , < х . X sin X 15. Используя правило Лопиталя, вычислить предел lim г ~ - х-^О Р е ш е н и е , Имеем неопределенность вида О/О. Получаем л - з т я 1-созл: ,. sinjc ,, cos* 1 hm ^ — = hm т— = lim = lim = —. X •<-»o Ъх 6x 6 6 Здесь правило Лопиталя применено трижды. 16. Вычислить предел lim— . ДГ-^СО Р е ш е н и е . Имеем неопределенность вида оо/оо. Применяя правило х^ 2х 2 Лопиталя два раза, получим; Ига — = lim — = lim — = О. . V — V O O л - у о о д г - ^ о о 17. Вычислить предел lim (х^ Inх ) . ^->0 ^ ' Р е ш е н и е . Имеем неопределенность вида О 'оэ. Представив произведе­ ние в виде частного, а затем, получив неопределенность вида со /да, применим правило Лопиталя: Inx l/x 1 2 n ! = 0 . lim (x^lnx] = l im-T^ =l i m— > x-i4\lx x-^o-2/x 2 18. Вычислить предел lim (^ ^—1. •'-»oU e ' - l j 132