Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

у' = 2" In 2, у" = 2" In^ 2, у'" = 2" In^ 2 , = 2'• In" 2. 9. Найти дифференциал функции y=:ctgx. dx Р е ш е н и е . Имеем dy = (ctg д:)' • dx = —^— j — . sin X 10. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции у = ( 2 д - 3 ) \ Р е ш е н и е . Имеем dy = Ъ{2х~ У)- • 2dx = Ь{2х -bfdx, = 12(2x - 3) • 2 £ &'= 24(2д: - 3)Л:^ d'^y^l^-ldx^ =.АЫх\ 11. Вычислить приближенное значение arcsin 0,51. Р е ш е н и е . Рассмотрим функцию >= arcsin л:. Полагая д:=0,5, Дх=0,01 и применяя формулу arcsin(x + A.Tc) «arcsinx + (arcsinjc)'Ax, получаем arcsin 0,51 «arcsin 0 , 5 + —; =^ • 0,01=—+0,011«0,513. 4 1-(0,5)' 6 12. Выполняется ли теорема Ролля для функции /(л) =х^ -бл:+100, если а = 1, Ь = 5 ? Если да, то при каком значении tp. Р е ш е н и е . Так как функция f{x) непрерывна и дифференцируема при всех X и /(1) = /(5) = 95, то теорема Ролля на этом отрезке выполняется. Значение ^ определяем из уравнения/ ' (л:) = 2х - 6 = О, т.е. ^ = 3. 13. На дуге АВ кривой у = 2х-х^ найти точку М, в которой касательная параллельна хорде АВ, если У 4(1; 1) и й(3; -3). Р е ш е н и е . Функция у-2х-х^ непрерывна и дифференцируема при всех л. По теореме Лагранжа между двумя значениями а = 1 и Ь = 3 суще­ ствует значение д: = удовлетворяющее равенству у(Ь) - y(fl) = (Ь - a),v4^). где у' - 2-2х. Подставив соответствующие значения, получим >'(3)-Я1) = ( 3 - 1 ) У® ; ( 2 - 3 - 3 ' ) - ( 2 - 1 - 1 ' ) =( 3 - 1 ) . ( 2~2У ; - 4 = 4(1-^). 131