Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

smx , ,, . , , у = — + ln(l + sm X) ~ In cos X . cos x Тогда 2 X сохл —sin CDs'*:*: l+sinA" cos.x' или ; Cos x c o s x - s i x - 2 cosx(-sin.x:) 1 ' / • ч у = i - + ^—cosx (-smx). / cos^x + 2sin^x cosx(l-sinx) sinx cos^x + 2sin^.v 1-sinx У 5 + / • . , ^ + 5 + + cos X l - s m X cosx cos x cosx sinx cos"x + 2sin^x 1 2 + = ^ + - cosx cos'x cosx cos'x 5. Найти производную функции у = (sinx)' ®*. Р е ш е н и е . Здесь основание и показатель степени зависят от х. Лога­ рифмируя, получим lny = tgx-ln sinx. Продифференцируем обе части послед­ него равенства по х. Так как у является функцией от х, то 1пу есть сложная функция X и (In УУ = — • у\. Следовательно, У у' 1 1 , . , In sin X =tgX'-; COSX+ т—-In stnx=l+ j — ; у smx cos X cos x / (, InsinxA , , Insinx У =y\ 1 + j — = (stnx)'®1 1 + J— V. cos X J V cos X 6. Найти— , если x = г' + Зг +1, у = Зг' + +1. dx Р е ш е н и е . Найдем — = 3?^ + 3, — = 1 Sf'' + 15г^. Следовательно, dt dt dy 15/"+15/' 2 dx З /ЧЗ ~ • 7. Какой угол а образует с осью абсцисс касательная к кривой у = (2/3)х^ - (1/9)х\ проведенная в точке с абсциссой х = I ? Р е ш е н и е . Находим производную у ' = (10/3)х''- (1/3)х^. При х = 1 имеем 3'' = 3, т.е. t g a = 3, откуда а = arctg3 »7'1°34'. 8. Дана функция у = 2^. Найти у*"'. Р е ш е н и е . Имеем; 130