Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

9. Нет, поскольку £ >(/) несимметрична относительно нуля н проверка условий типа / ( - ! ) = / ( ! ) не имеет смысла; /(-1)существует, а /(1)-нет. 10. Да. Причем сколько угодно раз. Это видно из примера. Упражнения Решение типовых 1адач 1. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами диффе­ ренцирования), найти производную функции y = -Jx. Р е ш е н и е . Находим приращение функции: Ду = -Jx + Ax - -fx . Отсюда Av ••Jx + Ax~yfx ,. Ду ,. -Jx + hx-^fx - . l i s и lim - ^ = iim . Лх Ax Д ^^0 Ax Д "^0 Ax Таким образом, у ' = lim ^ ^-^Ix + Ax -4x^{^Jx + Ax +-Jx'^ A .Г-+0 Ax(^-^x + Ax + Vx j х +Д х - х ,. 1 1 = lim— , =rr= lim • — ^ =—j=. AxNx + Ax-'sIx] ЧХ + АХ + У1Х 2^X Итак, у' =• ^ 2 4x 2. Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производ­ ную функции у = xJx(3lnx-2). Р е ш е н и е . Перепишем заданную функцию в виде >' = х^'^(31пл--2). Тогда у' =х"^ •- + ~х"^{3\пх-2) = 3х"^ +-х"^\пх-3х"'' =^4^\пх. X 2 2 2 3. Найти производную функции у = {2х^ + 5^ . Р е ш е н и е . Обозначим 2х^ + 5 = м, тогда у = и". По правилу дифферен­ цирования сложной функции имеем y'=[u'^'^' ' ( i r U s ) ' =4и^(бх^)=24х^(2хЧ5)\ . „ , sinx , l + sin,r 4. Наити производную функции у = 5—+ m . c o s дг COS.V Р е ш е н и е . Преобразуем данную функцию: 1 2 9