Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

4. Пусть f{x) - е^'" ' . Какая из записей df{x) = e"" V(sinA-) и rf/(.r) = e^'" ''cosxdx верна? 5. Пусть на отрезке [-1; 1] задана /( A-) = |.V |. Убедитесь, что у нее нет стационарной точки, хотя /(-1) =/(1). Почему утверждение теоремы Ролля здесь не имеет места? 6. Пусть/такова, что /"(л :О) = 0 , /'"( XQ )?!: 0. Что можно сказать о точке Л Й ? 7. Какой физический смысл имеет f" (х) ? sin л: cosx 8. В силу первого правила Лопиталя lim- = 1. Можно ли эти л=0 ^->0 X 1 рассуждения считать доказательством первого замечательного предела? 9. Имеет ли смысл при построении графика функции / (х) = е^ + е~' + cos д: • j исследовать вопрос о ее четности (нечетности)? 10. Может ли график функции пересекаться с наклонной асимптотой? (Рассмотрите пример / ( х ) = x"^sinx.) Ответы 1. Как видно из примера, / не дифференцируема ни в какой точке х ?!: О в силу разрывности. Однако / ' ( 0 ) = О . 2. ^ =/ ' ( х о ) - записано определение f ' [ x ^ ) поКоши. 3. А = f' (ХЦ) - записано определение / ' (XQ) ПО Гейне. 4. Обе. 5. В точке Хо = 0 не существует /'( XQ ), т.е. одно из условий теоремы Ролля не выполнено. 6. Точка Ха - точка перегиба графика f . 1. Ускорение. 8. Нет, поскольку формула (sinx)' =cos.i: получена с применением перво­ го замечательного предела. 128