Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Например, f{x) = — имеет вертикальную асимптоту л- = 0. .г Пусть / определена на (а;+оо). Прямая у = кх + Ь называется правой наклонной асимптотой / , если lim (/(л-)-(Ъг + й)) = 0. Л - - + + 3 3 При /с=0 наклонную асимптоту часто называют горизонтальной асим­ птотой. Например, /(.*) = —sinx, x £ ( 0 ; + QO ). Легко видеть, что у = 0 - правая X горизонтальная асимптота. Очевидным образом вводится понятие левой наклонной асимптоты: если / определена на(-со; а),го у = кх + Ь назовем левого наюгонног'; (соответственно горизонтальной) асимптотой функции /, если lim (f(x)-(kx+b)) = 0. x-i- Теорема 6.18. Для того чтобы прямая у = кх + Ь была правой (левой) на­ клонной асимптотой функцииf , необходимо и достаточно., чтобы к- lim Ь= lim (f(x)- la), .т—»+ СО X .t-++ 'Эт \к= lim b~ lim (f{x)-kx) Доказательство проведем для правой асимптоты. Необходимость. Пусть у — кх+Ь - поавая асимптота, тогда fix) ^f{x)-{kx + b) + (kx + b) ^ f{x)-(kx + b) ^ ^ b X X X X Поскольку f{x)-{kx +Ь) —>0, то, переходя к пределу в обеих частях f("jlf^ этого равенства, получим lim ' ^ ~ ^ = к. Далее f{x)-kx = f(x)-(kx + b) + b. Х~^+ 0 X Но тогда, опять переходя к пределу, получаем b = lim (/(л) - fa:). Л-+ э; ^ ' Достаточность. Пусть существуют пределы (6,38). Тогда, поскольку 6= lim (/(.t)-bc), то: Л-*+ rj !2б