Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

/(х) = /{хо) + /'{хо)(х-Ха)+-^ +о^(х-хо)"|. Отсюда fix)-f{xa)-f' {х„){х-ха) = [х-ха)" {х-Xq)" Опять, как и в теореме 6.15, выберем окрестность U ^{ XQ ) такую, что квад­ ратная скобка сохранит в этой окрестности тот же знак, что и /'"'(х,,). Тогда в этой окрестности возможны следующие рассуждения: 1.Если п четной (хд) > О, то xeUs{xo)=> f{x)-f{xa)-/'{ха){х-хо)>0, т.е. тогда XQ - точка строгой выпуклости графика/ . 2. Если и четно и ( XQ ) < О, то xeUs(xo) / ( х ) - / ( х о ) - / ' ( х о ) ( л - х о ) <0 , т.е. тогда .^о - точка строгой вогнутости графика / . 3. Если и нечетно, то ( X-XQ )" имеет разные знаки слева и справа от X Q ^разумеется, при этом хеО^( XQ )) , а значит, и выражение fix) - / (хо) -/ ' (хо )(х - Хо) имеет разные знаки по разные стороны от X Q , т.е. XQ - точка строгого перегиба графика / . Теорема доказана. В заключение этого раздела рассмотрим еще одно понятие, не связанное напрямую с понятием производной, но необходимое при исследовании так называемого асимптотического поведения графика функций - «поведения гра­ фика при Удалении его точки в оо». Выражение, взятое в кавычки, конечно, никак не может быть взято в качестве определения асимптотического поведе­ ния / в силу его полной неопределенности и, в общем-то, безграмотности. Поэтому перейдем к строгим определениям. Пусть / определена в проколотой окрестности точки а. Прямая х — а называется вертикальной асимптотой графика / (или вертикальной асим­ птотой / ) , если хотя бы один из односторонних пределов lini / ( х ) или Игл / ( х ) •v-l-a ' гТ<7 ' является бесконечным. 125