Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

. VE ( XU - 5 ; ЛЦ ) => / ( X ) > / ( . V T , ) + /(.Vft)(.ic-.x „); хе(л„; .1:0+5) => /{х)</{хп) + /'{х^){х-х^)\ (хе(,-Со-б; л:;,) =:^' / { х ) < / { х а ) + /\ха){х~хпу, X е (х,,; л-(| + 5) => /(л-) >/(ха) +/ ' (хн)(л- - Геометрия этого определения ясна на рис. 17; о О Рис. 17 Таким образом, график функции для j:e!7s(xQ) расположен по разные стороны касательной, проведенной к графику / в точке ( XQJ ./(^ О ))' Если для все неравенства (6.36) и (6.37) выполняются строго, то говорят о строгой выпуклости, строгой вогнутости и о строгом перегибе в точке X Q . Теорема 6.17 (о достаточном условии точки перегиба). Пусть f имеет п производных в точке XQ . Пусть также имеют место условия: f" (хо) = f (Хо) =... = f"-'' (хо) = о; /<"> (хо) ^ О. Тогда: 1 ) если п - четное число и /'"^(Х(|)>0, то .V q - точка строгой выпукло­ сти графикаf ; 2) если п - четное число и /'"'( xq)<0, то xq - точка строгой вогнуто­ сти графика /; 3) если п - нечетное число, то X Q - точка строгого перегиба графика функции /. Доказательство. Как и в предыдущей теареме, воспользуемся формулой Тейлора с остатком в форме Пеане: 124