Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Наконец, если я нечетно, то, выбирая вновь такую окрестность, чтобы квадратная скобка сохраняла в ней знак, мы видим, что сомножитель (х-л'о)" , а с ним и разность f { x ) ~ f [ x u ) будут менять знак в зависимости от того, слева или справа от A Q находится х, т.е. экстремума в точке X Q не может быть. Теоре­ ма доказана. На практике чаще всего встречается случай, когда / ' ( хо ) =0, /"(хо)5^0. Как следует из доказанной теоремы, в этом случае XQ - экстремальная точка и при f" ( XQ ) > О( f " ( XQ ) < Oj это точка строгого минимума (максимума) функции / Кроме точек экстремума, интересными точками графика функции явля­ ются точки перегиба и связанные с ними точки выпуклости и вогнутости. Определение 6.5. Пусть / определена хотя бы в некоторой окрестности точки X Q И существует/'( XQ ). Точка X Q называется точкой выпуклости (вогнутости) графика функции /, если найдется такая !7з(хо), что x £ t / s ( x o ) = > / ( х ) > / ( х о ) +/'(хо)(х-хо); (х £ С/д (Хо ) => fix) S / (Хо ) + / ' (Х(|)(Х - Хо )). (6.36) В частности (как видно из определения), точка минимума функции / явля­ ется точкой выпуклости ее графика (рис. 16, а), а точка максимума - точкой во­ гнутости. Иногда точки вогнутости графика / называют точками выпуклости вверх графика (рис. 1 б, б). Рис, 16. Точки выпуклости и вогнутости; - выпуклости; б - вогн>тости (выпуклости вверх) Пусть / по-прежнему определена хотя бы в окрестности точки XQ И су­ ществует /'(л:,,). Точка .X Q называется точкой перегиба графика/, если суще­ ствует такая окрестность ^/^(хл), что: 123