Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Применения формулы Тейлора к исследованию функций Как отмечали выше, теорема Ферма не дает достаточных условий экстре­ мума функции. Теперь мы готовы сформулировать и доказать соответствую­ щую теорему. Теорема 6.16 (о достаточных условиях строгого экстремума). Пусть/ имеет п производных в точке .Го, при этом f (л-о) = f" (а- О ) =... = f "-'' (Хо) = о; (^-о) ^ о • (6.35) Тогда, если п - четное число, то Л;, - точка строгого экстремума, а имен­ но, если то ;to - точка строгого минимума, если /'"'(хо)<0 - строгого максимума. Если п - нечетное число, то экстремума в точке XQ нет. Доказательство. Условия теоремы позволяют записать для / формулу Тейлора с остатком в форме Пеано для любого х из окрестности точки х^. Учи­ тывая (6.35), получим: f{x) = + +o^(j:-Xo)") или f{x)-f{xa) = {x-Xa)" rt! (x-.Tq)" Предположим теперь, что /'"*( J : O )>0. Тогда, учитывая, что з((х-Хо)") {х-ХоТ неравенство ->0, выберем окрестность ^75(xq) такого радиуса, чтобы < ^—- выполнялось для всех х из этой окрестности. и! {х-х,Г Но тогда в этой окрестности знак квадратной скобки будет положительным. Также в сипу четности п, положительным будет и знак сомножителя (^ X - XQ )" при всех XQ И , значит, для х имеет место fix)- f{x^)>Q, т.е. XQ - точка строгого минимума. Аналогичные рассуждения при /'"'(л'о)<0 приводят нас к тому, что Xq - точка строгого максимума. 122