Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Очевидно, найденное п удовлетворяет и (6.34). А это неравенство решаем перебором п, что очень несложно, в особенности, с помощью калькулятора или ЭВМ. В данном случае неравенство (6.34) выполняется уже при п = 3 и, следо­ вательно, 3! 5! 7! с точностью S = 10"''. Выражение, стоящее справа, уже легко вычислить. 2. / ( x ) = cosx. С помощью рассуждений, аналогичных приведенным вы­ ше, можно получить формулу; где R „ снова может быть записан в различных формах. 3. f{x) = е'". Поскольку для любого и имеет место = е'^, то формула Маклорена записывается просто; ^ ^ 1 1 ! ^ / + л„ (;с) = i ^ + R,. {X), к=0 к\ 4=0/с! а формула Лагранжа для R „(x) имеет вид: „в! (и+1)! Из этого разложения, в частности, следует формула, по которой сколь угодно точно можно приблизиться к числу е; при х = 1 имеем ыо к ! где п может быть найдено из оценки; е® И„0)| = (п + 1)! < - L - < s . (и + 1)! Поскольку— — - быстро убывающее с ростом п выражение, (и + 1)! то требуемая точность достигается достаточно быстро. В учебниках и задачниках по математическому анализу можно найти формулу Маклорена и для других функций. Например, для / ( x ) = ln(l + x), f{x) = (1 + .х)" и др. Здесь мы ограничимся приведенными примерами. 121