Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Наиболее удобной формой является форма Лагранжа. Она удобна и для запоминания; остаток имеет тот же вид, что и («+!)-й член многочлена Тейлора с той разницей, что (;!+1)-я производная вычисляется не в точке д:,,; а в некоторой промежуточной точке между х и Хо. Однако (впрочем, в редких случаях) приходится использовать форму Коши из-за невозможности произве­ сти соответствующие оценки с помощью формы Лагранжа. Разумеется, полученные формы не могут нам дать точного значения R „ix), поскольку точное местоположение ^ между л: и л:о нам не известно. Од­ нако это не так страшно - в вычислительных задачах нас интересует не точное значение погрешности вычислений, а оценка этой погрешности; например, нужно вычислить значение / ( х ) с точностью до десятого знака после десятич­ ной запятой. В этом случае мы добиваемся выполнения неравенства I (х) j < 10~" . Как это делается, мы увидим из следующих примеров. Заметим, наконец, что для формулы Маклорена а остатки в формах Пеано, Коши и Лагранжа имеют соответственно вид: T „ix) = f(0) + f'{Q)x+^^x' X + . . . + и! л! Примеры формулы Маклорена для некоторых элементарных функций 1. f{x) = sinx. Выше была получена формула Следовательно, в форме Лагранжа остаток примет вид: Вычислим коэффициенты Маклорена: 1!9