Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

( я - 1 ) ! ' ( « - 2 ) H ! 0 ( - l ) ! Теперь видим, что в последнем выражении каждое первое слагаемое квадратной скобки взаимно сокращается со вторым слагаемым следующей скобки и, очевидно, только для -{x-t)" не найдется пары (нет следую- п\ щей квадратной скобки). Таким образом, п\ и формула (6,32) примет вид: Д„ (X) = (X - ^)" • (6.33) Мы получили своего рода «полуфабрикат», из которого, выбирая тот или инойвид функции g,можно получать различныеформы для остатка R „. 1. Положим g ( 0 = J:-if. Тогда g ' ( 0 = g'(i^) =- l . ^(•^) =0, g(xo) =x - x o . Подставляя эти выражения в (6.33), получим /•('1+0 (-КЧ К ( х ) = ^ ; ^ ( х - у " ( х - х 0 ) . ?i! Поскольку (^ = Хо + В| (л: - .Гц), то ( х - О " =(х-х0-&,(х-Ли))" = (1 - е,)" (х - Хо)" и последнее выражение примет вид Я„(х) = у, ^ т.е. формула Коши получена. 2. Положим g(t) = (x-0'"'^, тогда g ' ( ^ ) = - { " + - ^ " . g(-*:)=0. Подставив эти выражения в (б.33), получаем (после очевидных сокращений) п . ч /'""' Чу . 4"+' или Л /"'""(А-о +Е2 (л--.го)) , (я X,) , т.е. формула Лагранжа получена. Теорема доказана. 1 1 8