Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

(форма Лагранжа). Доказательство. Пусть xeU^^Xa) и ^ = Хо +0(*~^о) > 0s[O; I] - проме­ жуточная точка между л'о и х (может быть и совпадающая с ними). Построим вспомогательную функцию Ф (0 = - f(t) - / ' ('Х-^ - О - f"(t) 2! к\ ^ п\ Из построения ф ясно, что (р(л:) =0 , ф(д:о) = Rni^)- Кроме того, для любо­ го i = д:о + б(л:-Хо), 0 £ [О; 1], функция ф (г) дифференцируема, поскольку (x — t)'' дифференцируема по ( для любого Л:, а все /'(')> /"(')>•••> /'"'(О диф­ ференцируемы по teU^{xo) • Возьмем некоторую функцию g{t), такясе диффе­ ренцируемую при любом isUf,(xo),K применим к Фи g формулу Коши на от­ резке, соединяющем X и JTQ : найдется ^ = Хд + 0(л: -Хд) такая, что ф(д:)-ф(хо) _ ф''С^) gW- g ( - « o ) g ' © ' или, с учетом построения функции (р; -Rnix) откуда Ф ЧЦ g ( x ) - g ( ^o ) g \ ^ ] ' R,Xx) = -^^7^(g(A:) - g (xo)) • g (U (6.32) Заметив, что f{x) при фиксированном x не зависит от i, а значит, ее производная по t равна нулю, найдем ф'((): ф ' ( 0 =- / ' ( 0 - [ / Ч 0 ( ^ - 0 ] ' 2! 3! / ("-П ( « - 1 ) ! / ' " (О ^ ( х - 0 " " ' U - - 0 " =- / ' ( 0 - [ / " ( 0 ( х - 0 - / ' ( 0 ] - 71 3! 2! 117