Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

этой неопределенности вновь применить второе правило Лопиталя. Ясно, что вновь находя отношения производных, мы опять получим неопределен- ' 0 ' ность вида J ^ —J, поскольку / (Х) вновь непрерывна вточке . XQ . Продолжая эти рассуждения п-\ раз, мы придем к необходимости Л раскрыть неопределенность в выражении— j — , т.е. в выражении п\{х-Хо) п\{х-х,) • Но здесь второе правило Лопиталя уже неприменимо, поскольку / ' " ' ( х ) не определена ни в какой точке, кроме Хд, поэтому воспользуемся первым правилом, находя отношение производных, вычисленных в точке Хо, тогда, очевидно, производная числителя в точке XQ имеет вид /<"'(хо)-/<"'(х„) = 0, а производная знаменателя равна « ! Таким образом, предел выражения (6.31), вычисленный в точке Хо, равеи нулю, а следовательно, мы доказали, что й„(х) = о((;с-хо)"). Замечание. Форма ^ „(x) = o^(x-xo)"j называется формой Пеано. Доказанная теорема оценивает скорость стремления остатка к нулю при условии стремления к нулю разности Х-Хо- Во многих задачах анализа этого бывает достаточно. Однако при использовании формулы Тейлора в приближенных вычислениях, т.е. при использовании формулы f(x)^T „{x), эта теорема ничего не говорит о количественной оценке /{„(х), т.е. о количест­ венной оценке пофешности вычисления значения/ в точке х. Задачу такой оценки решает следующая теорема. Теорема 6.15 (теорема об остатке формулы Тейлора в формах Коши н Лагранжа). Пусть / дифференцируема п + \ раз в некоторой окрестности 1!Уд(хо) . Тогда найдутся 0|, 02 е(0; 1) такие, что для любого х из этой окре­ стности справедливы формулы: п / \ ^ (^0+01 (-*:-Хо)) „ у,+| R „ix) = ^ ^ ^ ( 1 - 0 | ) ( x - . V ( , ) ( формаКошн); 1 1 6