Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Насколько успешно решена задача представления f{x) с помощью многочлена Т„{х), теперь зависит от поведения R „(x) и от того, насколько ус­ пешно мы можем оценить его величину, поскольку Л„{л') и есть та самая по- фешность, которую мы допустим при использовании приближенного равенства f(x)^Ux). На эти вопросы нам ответят следующие две теоремы. Теорема 6.14 (об остатке формульс Тейлора в форме Пеано). Пусть f дифференцируема п раз в точке хо, тогда существует окрест­ ность C/s(xo) такая,что Vx е C/g (;со): й„ (;с) = о|(x - дго)"). Доказательство. То, что/дифференцируема п раз в точке Ха по опреде­ лению означает существование окрестности V^[x!,), в которой определены как сама функция/, так и все ее производные до порядка л - 1 включительно. Пусть .г' е C/g^xo). Чтобы доказать теорему, покажем, что (л-;со)" или, что то же самое (см. формулу 6.29): л! Ясно, что в силу непрерывности /(л:), здесь имеем неопределенность ви­ да при д: лго. Попытка применить второе правило Лопиталя (ясно, что первое правило здесь неприменимо из-за того, что g'(xo) = |(A: U=,o=0) вновь приводит к этой же неопределенности: f ' ( x ) - f {хо)-f" Ы { х - { х - х с ) " ~ ^ -х^У п (Х-Хо)""' поскольку f'(x) —>/'(^о) в (^илу дифференцируемости (а следовательно, непрерывности) / ' в точке л",,, поэтому можно попытаться уже к раскрытию 115