Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

P „(x) = Т„(х) = ao + a, (x- X o ) +a , ( x- X o f +...+ a „ (x - л-„)". (6.25) Из формулы (6.25) следует, что /^,(.Хц) = ао. Продифференцируем к раз (1<к</г) обе части равенства (6,25), при этом заметим, что /с-я производная сла­ гаемых а,(,\-Хо)' при i<k будет тождественно равна нулю, при i>k будет со­ держать хотя бы первую степень сомножителя х ~XQ, а при i - к получим j = a r Л(Л-1)(^-2)...-2-1 = ад. Следовательно, (хд) = - к! или (6.26) Формула (6.26) показывает, что формула (6,25) имеет вид; Пусть теперь/ - некоторая функция, п раз дифференцируемая в точке Хд . Попытаемся строить /"„(х) по тем же формулам, т.е. построим Т„(х) с коэффи­ циентами (6.27) Иными словами, 7'п (х) = /(хо} + /' (хо)(х - хи) + ~ ^ ( х - Хо)Ч... + - - Хд)" . (6.28) Разумеется, разность /(л")- Т„(х) теперь не будет тождественно нулевой. Обозначим ее Л„(х): f(x)-T „(x) = R„(x) (6.29) или f(x) = T „(x) + R„(x)- (6.30) Коэффициенты (6.27) будем называть коэффициентами Тейлора функции f, многочлен (6.28) - многочленом Тейлора функции f , формулу (6.30) - форму­ лой Тейлора для функции/, а функцию R „{x), гюстроенную по формуле (6.29) - остаткол1 {остаточным членом) формулы Тейлора. При Х|, = 0 коэффициенты, многочлен и формула носят имя Макпорена: формула Маклорена и т.д. 114