Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Если да, то до какого значения п это возможно и как найти коэффициенты а,? Решение этого вопроса позволяет нам исследовать функцию/с помощью многочлена т „ ( х ) = /(хо) + /' {ха){х - х,,) + аг {x-x^f +... + а„ {х - х„)". Это очень важно, поскольку многочлены составляют класс функций, свойства которых наиболее хорошо изучены; в частности, вычисление значений многочленов в любой точке х не составит труда при известных значениях коэффициентов и при известной точке х^. Итак, поставим следующую общую задачу: для f{x) найти многочлен Т„ {x) = ao + a^{x-Xo)+a2{x-Xof +... + а„ {х - х,,)" такой, чтобы в некоторой окрестности точки X Q выполнялось равенство / ( х ) = Г„(х) + о^(х-л-о)"), где, как обычно, , 0 (х-хо)" Поскольку задача нахождения многочлена эквивалентна задаче нахожде­ ния его коэффициентов, то перед нами встает следующая проблема: найти формулы для вычисления «4, ^ = 0, 1,..., п. Задачи подобного рода в математике часто решаются следующим обра­ зом: возьмем для начала наиболее «хороший» класс функций / и для него решим поставленную задачу, а затем возьмем / из более широкого класса и попытаемся на этот юшсс перенести полученные результаты. Так мы и поступим. Поскольку наиболее хорошими (наиболее хорошо изученными) функциями являются многочлены, то возьмем / в виде некоторого многочлена с известными коэффициентами: fix) = Р„(х) = ро + Pix + +... + р„х" и найдем коэффициенты a j , k = Q, I,..., и так, чтобы выполнялось (х) = Г, (х) +о((х - Хо)"). Поскольку Рц и Т„ - многочлены, эту задачу можно решать с о^(л- -Xq)"| = О, т.е. добиться точного совпадения; m