Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Следствие 2. Пусть / и g дифференцируемы н некоторой проколотой окрестности U^{xa], lim /(.v) = lim g(.v) = =о и g'{x)f:0. Тогда, если существует предел lim то существует и предел lim При этом .V-.IO g (л) '-"О g(.v-) '->'0 g (.х) ^->'0 g(A') Это следствие примем без доказательства. Можно, наконец, показать, что следствие 2 остается справедливым и в случае, если л:, - бесконечно удаленная точка. Ниже, при исследовании сходимости числовых рядов, нам понадобится предел lim i[x = \. Докажем его с помощью второго следствия. Обозначим y = s[x . Если показать, что Iny—^ >0, то, в силу непрерывности функции Ых, тем самым будет показано, что у — 1 • Очевидно, 1пу =1 п ( х ) ' ' ' н о lim -^^24^= lim ~ = О, поэтому и lim -5^=:О, Х-^+0 \ .Х-»+ЬО X т.е. lim In у = О , что и требовалось. Формула Тейлора Эта формула играет первостепенную роль при исследовании функций как в теоретических задачах, так и при исследовании прикладных проблем, поэтому многие математики считают формулу Тейлора одним из наиболее существенных достижений математического анализа. Напомним, что дифференцируемую в точке XQ функцию можно в окрест­ ности этой точки представить в виде fix) = fixo ) +/ ' (.Хо )(.х - Хо) + о (х - Хо) . Если в Этой формуле пренебречь слагаемым о( х-хо) , то получится приближенная формула m ^ f { x , ) + f'{x,){x-x,). (6.24) Ценность этой формулы в том, что по значениям /(хо) и f ' { x a ) в точке X Q мы можем приближенно вычислить значение/ в точке х. Однако она имеет су­ щественные недостатки. Во-первых, отбрасывая о(х-.х„), мы не знаем величи- 111