Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Доказанные правила позволяют найти пределы частного двух функций в конечной точке XQ при условии, что пределы обеих функций равны нулю, В этом случае говорят, что эти правила раскрывают неопределенность вида . Как следствия можно доказать различные правила, позволяющие раскры­ вать эту неопределенность в бесконечно удаленных точках, а также раскры­ вать неопределенность вида ''•в' находить пределы частного двух функ­ ций при условии, что пределы каждой из функций бесконечны. Рассмотрим два таких следствия. Следствие 1. Пусть fug определены на интервале (а; +оо) и дифферен­ цируемы на нем, при этом lim f(x)= lim g'(x) = 0 и g'{x)^0. Тогда, если д:->+а} f'ix) fix) существует lim —p—, mo существует и lim . При этом л-»+« g< {х) g-(x) Ar->+ «g'(x) Доказательство. Введем л:(Л=-, Г>0. Тогда limx(0 =+ «'. Введем t ilo также F{t)- f{x(t)) и G{t) = g{x{t)). Очевидно, в некоторой полуокрестности (0; б) функции F и G дифференцируемы, G'(О = и Hn\F(f)= lim f{x) = b, а limG(/)= lim g(x) = 0, поэтому к F и G можно r-to д:-++со (•4-0 .v^+co применить второе правило Лопиталя, если lim | существует. Вычислим его: l i p ^ = lim 40 G (О 'W г о g (x (0) g (x) Ho тогда l i m ^ ^ = l i m : ^ = lim т.е. limЛ ^ = lim G (?) '-l-o G{t) .v- »+® g'(x) g(x) 8 (x) что и требовалось. 110