Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Доказательство. В силу дифференцируемости / и g имеем fix) ^ / ( х ) - / ( л и ) ^ /(хо)(л--д:ц) + 0|(.т-.т(,) _ /'{ха) + о, {х-Хо)/(х-.х^) g[x) g{x)-g{xo) g'{x^t){x~ X^,) + 02(X-X(,) g'{хо) + 02{х~х(,)/{х-ха) Поскольку O I ( X - X O ) / ( X - X Q ) —> 0 , / = 1, 2, то, переходя к пределу при X —^ ло в этих равенствах, получаем (6.22), что и требовалось. Теорема 6.13 (второе правило Лопиталя). Пусть f u g дифференцируе­ мы в некоторой проколотой окрестности С/в(^о) 'почки X Q , g'{x)^0, xeUs(xo), и при этом lim /(х)= limg(jc) =0 . Тогда, если существует л-»д:0 J:-+.V0 f'ix) fix) |,m mo существует ii lim — • • ii при этом --'Og'(x) •••-'Og(x) l i i i i - = ^ ^ = (6.23) . г->д:о g(x) g (x) Доказательство. Доопределим функции/и g в точке X Q ПО непрерывно­ сти, т.е. построим функции [о, x = jCo [о, х = Хо. Покажем, что lim = lim ^ . Пусть хеС78(хо) и х>Хо, тогда к F '•'••'О g-(x) •г-''о g-(х) и G на отрезке [ XQ, Х ] можно применить теорему Коши, т.е. найдется ^ Е (хо; х) такая, что fix) Fix) F{x)-F[x,) F'{^) f'i^) gix) G(x) G(x)-G(xo) G'(^) g'i^)' Ясно, что ^———>X(,, поэтому, переходя к пределу в полученных • равенствах и пользуясь тем, что lim , существует, получаем 5^д:0 g (^) .vJ-A'O g{x) 'J- to g (x) Равенство lim = lim^ д о к а з ы в а е т с я аналогично. Остается 'tjTO g{x) •« t.ro g (x) воспользоваться связью между пределами и односторонними пределами функ­ ций. Теорема доказана. 109