Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Видим, что в этом случае d^f[x{t)) отличается от d ' f , вычисленного в (6.19), вторым слагаемым, стоящим в правой части. Формулы (6,19) и (6.20) бу­ дут одинаковыми по форме записи лишь, если/ ' {^x{t))x"{t)dr - 0. Разумеется, мы не потребуем здесь, чтобы/'(x(0) =0 . Значит, (6.19) и (6.20) будут иметь одну и ту же форму лишь в том случае, когдах'' (г) = О • Но это возможно только тогда, когда x{t) = at + b', а, b = const. Часто бывает полезной формула, по которой можно найти производную любого порядка от произведения функций: i u i x ) v [ x ) p = t c W i x ) v ' " - ' \ x ) , (6.21) м назыввемая формулой Лейбш1(а. Здесь С ' - биномиальные коэффициенты и формула очень напоминает формулу бинома Ньютона. Вывод этой формулы также аналогичен выводу формулы бинома Ньютона. Действительно, положим, что (6.21) выполняется для п и докаж;ем ее для и+1; ( «v)<"'> = ((MV)"")' = ( t = ± C'„ = = S ct = f , + 1; = s=0 ' M )t=0 = + ± = t-l fc=0 т.е. получена формула (6.21), записанная для и+1. Поскольку при «= 1 формула Лейбница имеет место (мы это доказали в теореме 6.2), то справедливость фор­ мулы (6.21) доказана методом полной индукции. Применение производной для вычисления пределов функций. Правила Лопнталя Теорема 6.12 (первое правило Лопнталя). Пусть f u g дифференцируе­ мы втачке xq , /( хо ) = £ '( хо ) = 0 и g'[Х(^)ФО ,тогда имеет место формула lim = (6.22) '^'•0 8{х) g (хо) 108