Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Для xeUi,{.X(,) рассмотрим df(x) = f'{x)dx. При заданном dx это функ­ ция аргумента х : = ф(л') . Возьмем некоторое приращение Д.х и вычислим (/ф(лц) = ф'(д:о)Дд-. Поскольку ф'(хо) = (/'(.У))'1 = Определение 6.4. Выражение (6.17), просчитанное при Ax = dx, называ­ ется вторым дифференциалом функции/ в точке XQ И обозначается d^f^Xo). Таким образом, rf^/(x(|) = /"(x(|)(aLic)^ или, если опустить последние Скобки: d^f[x^) = /"(xo)rfx~. Ясно, что это степенная функция аргумента dx. Из определения также ЯСНО, что если находить дифференциалы df и ^ф при заданном dx, то второй дифференциал можно определить и так; d'f{x,) = d{dfix)% „,„=d{f'{x)dx)\ = = (4^' (^))1 ^=.^0 dx =( / " (xo)rfx)rfx =/ " {xo)dx^, т.е. как «дифференциал дифференциала». Аналогичным образом вводятся третий и т.д. дифференциалы; rf'7K) = rf(rf""7w)l.=.o> которые, очевидно, вычисляются по формуле d"f{x,)^p"\x,)dx". (6.18) Заметим, что дифференциалы порядка выше первого перестают обладать свойством инвариантности формы (точнее, оно сохраняется лишь в частных случаях). Действительно, рассмотрим, например, d^f, считая, что все фупкции нужное число раз дифференцируемы. Пусть х - независимый аргумент, тогда d^f{x) = f"{x)dx^. (6.19) Если же X = x(t), то d ' f i m ) = f" (х(О)Л' = (/' (л-(О)х'(О)' dt' = / "{ л - ( 0 ) ( ^ ' ( 0 ) ' + / ' = f" {x{t)){x' {t)dtf + f' {x{t))x"{t)dt' = = f" {x{t)){dxf + f {x{t))x"{t)dt'. (6.20) 107