Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

± j b W X O ) . . д , . e „ s - L . Д.Г Дл' ZVr 1 1 Cos — Лг Поскольку является бесконечно малой функцией при Ах —>0, т.е. существует <1 для всех AxTiO, то произведение Дг-cos- Лд: / ' , 0 ) - . т Л » Ь ^ £ Ь Л » ) . й . A.i.-vO ^JC Однако lim/ ' (х) не существует, поскольку, как мы видели, не существу- Х-40 ет lim s i n i , т.е. /'{х) не является непрерывной в точке .Го = О. 1->0 X Очевидно также, что если / и g дифференцируемы п раз в точке то ( / ±g f ' ^ (Л :о) = /*"' (^0 ) ± g*"* (•*,)) и Vc е /Г ; ( XQ ) = с/*"' ( XQ ). Пример. Найдем sin^"'jc. Для этого заметим, что sin' X = COSX =sin ^х +—j ; s i n " x = cos|^.x + ^ j = sin|^x+2^j; sin x = cosl x +2 - j = sinl х + 3 ^ Предполагая, что sin* ' х = sin|^x+^~j> получаем, что X = cosj^x + = sin^^x + (/с +1)" j , т.е. формула sin ''x = sin|^x + и—j доказана методом полной математической индукции. Упражнение. Докажите методом полной математической индукции формулу 1п'"'X =( - 1 ) " ^ ' д л я всех х > 0 . х" Введем понятие дифференциалов высших порядков. Для этого будем предполагать, что/дифференцируема п раз в точке х,, (п > 2). 106