Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Подобными рассуждениями можно ввести понятие производной любого порядка, если только производная предыдущего порядка позволяет это сделать. Обозначают производные п-го порядка так: а /называют п раз дифференцируемой в точке X Q . Если функция имеет производные любого порядка, то ее называют беско­ нечно дифференцируемой в точке XQ . Например, f(x) = e' является бесконечно дифференцируемой в любой точке xeR. По определению будем полагать, что производная нулевого порядка совпадаете (хо) =/(хо)• Из определения следует, что когда говорится «пусть / дифференцируема п раз в точке XQ », ТО производная /'"~''(х) определена в некоторой окрестности точки JCQ. В частности, если существует /"(д:о),то по определению функция f'{x) должна быть определена в окрестности точки X Q И дифференцируема (а значит, непрерывна) в точке XQ . Однако может случиться так, что /'(х) существует в окрестности, непрерывна в точке Хд, но не дифференцируема в этой точке. Функции, у которых в окрестности точки Хо существует производная, непре­ рывная в точке Хо, называются непрерывно-дифференцируемыми в точке X Q независимо от того, существует ли f" (хо) . Из приведенной теоремы 6,6 может возникнуть впечатление, что всякая функция непрерывно дифференцируема в любой точке области определения. Однако это не так. Рассмотрим пример; Г Ы или ах Очевидно, при Х7^ О эта функция имеет производную: /'(х)= 2xcos- + sin-. X X Покажем, что / ' ( 0 ) также существует; 105