Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Доказательство. Пусть Х|, Хпе(а\ Ь) и Л|<Л'2=> /(х,):^ тогда — i > О, но тогда по теореме о сохранении знака Х2 - л-| V|->^2 Х2 - X] В силу произвола в выборе .Хт, необходимость доказана. Если же f'{x) S О для всех х е (а; Ь) , то по теореме Лагранжа Vx „ Х2б(а; 6 ) 3 0е(О; !);/(x2)-/(.X|) =/'(xi+6(^2-х,))(х2-х,) и, поскольку /'(xi+0(х2-Xi)) > 0 , то из Х2>Х] следует / ( x j ) ^ ; / ( х , ) , т.е. / монотонно возрастает на (а; Ь). Достаточность также доказана. Если же / ' ( х ) > 0 , т о / ' ( х , + 0(хз -Х|))>О, откуда f { x 2 ) > f { x ^ ) и тео­ рема доказана полностью для случая возрастающих функций. Для убывающих функций доказательство провести самостоятельно. Замечание. Как показывает простой пример /(х) = х',если /(х) строго возрастает, то выполнение неравенства / ' ( х ) > 0 для всех х е ( а ; Ь) не гаран­ тировано; на (-1; 1) эта функция строго растет, однако / ' ( 0 ) = О. Производные и диффереииналы порядка выше первого Пусть / имеет производную f'{x) в любой точке некоторой окрестности Us(xo}. Тогда f'{x), в свою очередь, является функцией, определенной в окре­ стности С8(хи);ф(х) = f'{x). Если существует ф'(х|,), то ее называют второй производной функции / в точке хо и обозначают /"(Х|,),или /'^'(Хо), или ах Аналогично, если существует 11/(Х) = Ф ' ( Х ) в окрестности точки XQ И при этом существует \\j' ( XQ ) , то ее называют третьей производной функции/в точ­ ке Хо и обозначают /'"(хо), или /"'(хц), или ах' 104