Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Доказательство. Построим функцию = (/{Ь)-/(а))g(x)~ {g(b)-g(a)) f{x). Легко видеть, что F удовлетворяет теореме Ролля, поскольку непрерывна в точках а и Ь, дифференцируема на (а; Ь) и (проверьте!) F{a) = F{b) = f {b )g {a )-g {b )na). Но тогда по теореме Ролля найдется ^ е(а; Ь) такая, что F' (О = (/(й) - /(a))g'(^) ~ [gib) - g{a))f\%) = О. Теорема доказана. Замечание. Если предположить, что g'(.x)^0 для всех хе{а', Ь), то фор­ мулу (6.15) можно записать в виде fib)-Да) f'& S{b)-g(a) g'(^)' ИЛИ f{b)~m=^{g{b)-g{a)). (6.16) S V.S/ в этом случае видим, что формула конечных приращений становится ча­ стным случаем формулы (6.16). Действительно, если взять g{x) = x, то g'ix) = 1 ^ О и формула (6.16) становится формулой конечных приращений. Упражнение. Найдите ошибку в следующем «доказательстве» формулы (6,1 б): пусть f u g удовлетворяют условиям теоремы Коши и g \ x ) ^ 0 при всех хе(а-, Ь). Тогда применим формулу Лагранжа к fib)-f{a) и gQ>)-g[a) по отдельности и найдем точку ^ е (а; Ъ) такую, что f{b)-f{a) f'mb-a)^ g{b)-g{a) g'{^){b-a)' после чего, сокращая на й - а О, «получаем» формулу Коши (6,16). Теорема 6.11 (о монотонности дифференцируемых функций). Пусть / дифференцируема в каждой точке интервала (о; Ь).Для того чтобы/ монотон­ но возрастала (убывала) на (а; Ь), необходимо и достаточно, чтобы для любого хе.{а,Ь) имело место /'(х)>0(/(д^)<0). Если же й):/'(х)>0|/'(д^)<0), то / строго возрастает {строго убывает) на (а, Ь). 103