Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

такие, что / ( х | ) = inf/ , / ( x 2 ) = sup/ . Если Xj и Xi являются концами отрезка I"'*'! [оЛ>1 [а; 6J, то в силу условия а ) / - тождественно постоянная функция и за точку может быть взята любая точка из (а; Ь). Если же одна из точек ,Г; и л'т лежит внутри ( Й ; Ь), ТО она является экстремальной, поскольку попадает в (а; Ь) вместе с некоторой своей окрестностью, и по теореме Ферма она является ста­ ционарной. Теорема доказана. Теорема 6.9 (теорема Лагранжа). Пусть f дифференцируема в каждой точке интервала (а; Ь) и непрерывна в точках а и Ь. Тогда найдется точка ^ е (а; Ь) такая, что Очевидно, F дифференцируема на (а; Ь) и непрерывна в точках а и b как разность функций, удовлетворяющих этим условиям. Кроме того (проверьте!), F ( a ) = F(b) = f{a). Таким образом, F удовлетворяет теореме Ролля и, следова- что и требовалось. Замечание. Формула Лагранжа (6.14) часто называется формулой конеч­ ных приращений, поскольку связывает между собой заданное приращение ар­ гумента Ь — а л соответствующее ему приращение функции. Заметим также, что точку ^ можно представить в виде поэтому утверждение теоремы Лагранжа часто формулируют следующим обра­ зом; Найдется 0 е (0; 1) такая, что fib) - f (а) = f' [а + 0(6 - a)](b - ci) . Теорема 6.10 (теорема Кошн). Пусть функции f u g дифференцируемы в каждой точке интервала (а; Ь) и непрерывны в точках а и Ь, тогда найдется точка ^е(а; Ь) такая, что f{b)~f{a)^f'{m-o). (6.14) Доказательство. Построим функцию Ь-а тельно, найдется точка ^ е(д; Ь) такая, что F'(^) =0 ,T .e. /'(^) ^~а + в(Ь-а), 8 е ( 0 ; 1), ( m - / ( a ) ) g ' ( ^ ) =( g W - g ( a ) ) / ' © . (6.15) 102