Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Теорема 6.7 (теорема Ферма). Пусть функция f imeem в точке Хц экс­ тремум и дифферен1{ируема в этой точке, тогда /' (jc,,) = О. Доказательство. Предположим противное: / ' ( л о ) ' ' 0 , например, / ' > О. Тогда можно записать; o{,X~XQ) fix) -f{x^) = f' (^:о)(л: - д:о) + о[х~ х,,) = (х - Xq) Из определения o(jc-Xo) следует / ' W + - Х-ХО 3C/s(xo) Vxsf/8(xo): o(-t-xo) f (-^o)) X-Xo (•! I Т .е. в этой окрестности знак квадратной скобки совпадает со знаком / ( XQ ) и значит, будет положительным. Но тогда при XE(XQ -6, X Q ) получим, что / ( х ) - / ( х о ) < 0 , а при хе ( хо , д:о + 8) получим / U ) - / ( x o ) > 0 . Таким образом, точка хр не является экстремальной. Разумеется, доказательство будет аналогичным, если предположить, что/ ' (хо) < О. Теорема доказана. Замечание. Точки, в которых / ' ( х ) =0 , называются стационарньши точ­ ками функции/, поэтому теорему Ферма можно сформулировать так: Если функ11Ш / имеет в точке X Q экстремум и дифференцируема в этой точке, то X Q - стационарная точка f Важно отдавать себе отчет в том, что обратное утверждение не имеет мес­ та: если X Q - стационарная точка/, то она не обязана быть экстремальной. На­ пример, точка Хо = О является стационарной для / ( х ) = х^, однако, как легко ви­ деть, не является экстремальной: /(х) < О при х < О и /(х) > О при х > О. Теорема Ферма имеет простой геометрический смысл: в точке экстрему­ ма касательная к графику функции/ построенная в точке (х^, /( XQ )) , парал­ лельна оси абсцисс. Следствием из теоремы Ферма является другая важная теорема. Теорема 6.8 (теорема Ролля) Пусть f определена на отрезке [я; Ь] и об­ ладает на нем следующими свойствами: /(i^) =/(Ь); б)/ дифференцируелш в каждой точке (а; Ь); e)f непре­ рывна в точках а и Ь. Тогда у/существует стационарная точка X Q S (а; Ь). Доказательство. Из условий б) и в) следует, что/ непрерывна на [а; Ь] и, следовательно, по второй теореме Вейерштрасса найдутся точки Х| и Xj 101