Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

тс arccos X + arcsin ^ > получаем (arccos x)' + p - L _=o , 4^: т.е. формула 9° доказана. Формула 10° получается аналогично выводу формулы 8°; . . л' ' 2 i 1 (arctgx) - = cos у = (tgy) 1 + tg у 1 + (tgarctg.t) \ + x a формула 11 ° получается из равенства arctgx + arcctgx =^ . Теорема доказана. Определение 6.3. Точка X Q называется точкой минимума {максимума) функции f если 3 U,{xo)VxeU,{xo)-.f{xo) й f(x){f{x,) > /(.v)). (6.13) Если для x ^ XQ неравеиства (6,13) выполняются строго, то х^ называется точкой строгого минимума {максимума). Из определения ясно, что функция в этих случаях должна быть определе­ на хотя бы в некоторой окрестности точки X Q , Все указанные точки носят общее название: экстремальные точки функ­ ции f. 0^FEНЬ важно отдавать себе отчет, что одна и TF >. же функция может иметь множест во экстремальных точек, напвимер, функция f{x) = х(х-\)(х- 2)(х - 3), как легко видеть из элементарных рассуждений, имеет две точки минимума, расположенные на интервалах (0; 1) и (2; 3). Это происходит оттого, что нера­ венства (6.13) по определению должны иметь место только лишь в окрестно­ сти экстремальной точки. Поэтому точки экстремума часто называют точками локального экстремума. Умение отыскивать экстремальные точки является определяющим во многих прикладных и теоретических исследованиях, поэтому сформулируем и докажем следующую теорему, дающую необходимые условия экстремума для дифференцируемых функций. 100