Введение в методы оптимизации

Пример. Рассмотрим задачу минимизации функции / ( х , ,^2) = xf + Xj при условии ^( xpXj ) = 4х ,+3x2-5 =О . Положим Ф(х) = (4х, +Sx j -5)^ и =к, /с = 1,2,..., тогда Ф^. (х) = xf + Xj + /с(4х, + 3Xj - 5)^, к = 1,2,... В силу выпукло­ сти / ( х ) и g(x) функция Ф^Сх) при каждом А: выпукла, по­ этому ее точку минимума можно найти из условий = 2xi +8А:(4Х] +3x2 - 5 ) = О ; = 2x2 + бЛ:(4^:, + Зх^ - 5) = О . Sx, Записанные условия при каждом к представляют собой систему линейных уравнений относительно неизвестных х, и .Xj. С помощью простых преобразований уравнения систе­ мы приводятся к виду (16А: + 1)х, +12кх^ = 20к и 12Ьс, +(9А: + 1)л:2 =15к. т- к 20/с 15к Решая систему, получим х, = , = . 25А: + 1 25А:+1 Выражение а^ф(х*) имеет вид 11л к о i ,( 80^ 45Л V к\Ах, + Зх-j 51 —к\ 1 5 — ^ ^ ' U s ^ + l 25Л + 1 ) - J 125/С-5 (25^ + 1) у ^ 25к _ t 25yfc + l J ~ 625к^ +50k+l 95