Введение в методы оптимизации

Теорема 3.4. Проекция произвольной точки у на выпуклое замкнутое множество Xсуществует и единственна. Теорема 3.5. Пусть X - выпуклое замкнутое множество, X* еХ и f(x)eC\X). Тогда условие (3.1) выполняется в том и только в том случае, если при а > О точки х* и Рг^, совпадают. При решении задата условной минимизации движение по антиградиенту на произвольной итерации может выводить за границу множества X даже при выборе малой величины итера­ ционного шага. Эту трудность можно преодолеть, если при каждом /с точку х'' ) проектировать на множество X. Доказывается, что при малых а > О справедливо неравенство / |Рг д. а. значит, возможен выбор ша­ га, гарантируюш,ий монотонное убывание | / (х'' . Алгоритм метода проекции градиента состоит в сле- дуюш;ем. Пусть х°- произвольная точка X, выбранная в каче­ стве начального приближения. Если известно к-е приближе­ ние х'' е X, то строится точка х* > 0 и опре­ деляется ее проекция у* на множество X, которая в силу тео­ ремы 3.4 существует и единственна. Если точки х^ и сов­ падают, то решение задачи прекраш,ается (из теорем 3.2 и 3.5 следует, что в этом случае х ' е 5»). В противном случае про­ екция берется в качестве следуюш,его приближения х*'^'. Если множество X совпадает с пространством £ •„, то метод проекции градиента превращается в градиентный метод, ис­ пользуемый для задач оптимизации без ограничений. 72