Введение в методы оптимизации

=-mi n( - / ( x ) ) , поэтому ограничимся рассмотрением задач на минимум. Множество Xобычно задается в виде Х = [хе : gi (х) <0,1 = 1, m]g. (х) = О, / = /и +1, , где f{x) Hg-,.(x), i = l,s - некоторые функции, определенные на . Если функции /(х) и giix), i = l,s линейны, то задача / ( x ) ^m i n ,х е Х есть ЗЛП. Если множество X выпукло и f{x) выпукла наX, то задача / ( x ) ^mi n , х е Х называет­ ся задачей выпуклого программирования. В следующей тео­ реме сформулировано одно из условий выпуклости и замкну­ тости множества X. Теорема 3.1, Если функции gj{x), i = 1, m, непрерывны на , то множество X = е : g. {х) <0, г = 1, т\ g, (х) = 0, i = /и +1, .у| замкнуто. Если при этом функции g. (х), г = 1, т, выпуклы, а функции gj(x), i = т + 1,^' линейны на то множество А' явля­ ется также выпуклым. В следующей теореме сформулировано необходимое условие минимума гладкой функции f{x) на выпуклом мно­ жестве X. В случае выпуклости функции /(х) это условие становится и достаточным. Теорема 3.2. Если X - выпуклое множество, /(х)еС' (А' ) и X* - точка минимума / (х) на X, то выполняется условие Vx eA^ i ^ / ' ^ x ' j j X- x ' j&O. (3-1) 61