Введение в методы оптимизации

Уравнение =/ ( х ) +( / ' ( х ) , х - х ) задает касательную ги­ перплоскость к графику функции у = / ( х ) в точке х . Поэто­ му указанное неравенство означает, что график выпуклой функции лежит не ниже касательной гиперплоскости к этому графику в произвольной точке х еХ. Функция / ( х ) называ­ ется вогнутой на выпуклом множестве X, если (-/(х)) вы­ пукла наХ. п Примеры. Линейная функция / ( х ) = Сд + ^ с-Xj, с. s R , ./=1 i = 0,n, и функция нормы / ( х ) = |х| = -^Х^ + Xj +... + х^ яв­ ляются выпуклыми на всем пространстве, причем линейная функция является одновременно и вогнутой. Доказывается, что квадратичная функция двух переменных / ( х ) = (3, -ь «22^2 +'^]2^1^2 + ^1^1 + Ьг,Х2 +С при выполнении условий а,, > 0 и 4а,,<322 ~<^\2 выпукла на . Задача минимизации функции конечного числа пере­ менных записывается в виде /(х) min, хе X, где X - за­ данное множество и-мерного евклидова пространства а / ( х ) - заданная функция, для которой требуется найти наи­ меньшее значение на этом множестве и точку, в которой оно достигается. Если множество X совпадает с Е„ , то поставленная зада­ ча называется задачей безусловной минттзацын, иначе - за­ дачей условной минимизации. Задачи максимизации легко сводятся к задачам минимизации, так как max / ( х ) = .t €.V 60